Zenbakien ibilbidea. Arrunta ala konplexua?

Aspalditik erabiltzen ditugu gizakiok zenbakiak. Inguratzen gaituen mundua deskribatzeko elementu garrantzitsuak dira, eta antzinarotik erabili dira kultura guztietan: herriko biztanleak edo baserritarraren abereak zenbatzeko, edozein distantzia ala denbora neurtzeko, horiekin kalkuluak egiteko… Gizakia eta gizartea garatzen joan den heinean, baina, zenbakien beharra eta haien inguruko jakintza ere garatu egin da, eta gero eta zenbaki-sistema aberats eta egituratuago bat osatzen joan gara.

Sortu dugun zenbaki-mota berri bakoitza ez da ausaz agertu, ibilbide baten pausu logikoak izan baitira. Emandako urrats bakoitzak kontzeptu eta tresna berriak eskaini dizkigu, eta gure mundua deskribatzeko gaitasuna zabaldu du. Bide hori zenbaki konplexuen sorreran amaitzen da; hasiera batean exotikoak badirudite ere, aurretik eraikitako sistemaren jarraipen naturala. Artikulu honetan ibilbide hori osatu duten pausuak aztertuko ditugu eta, bukaeran, egitura guzti horiek marko matematiko sendo eta koherente batean bateratzen direla ikusi.

Zenbaki arruntak

Ibilibide honen lehen pausua zenbaki arruntak dira. Izenak dioen moduan, guretzat arruntak diren zenbakiek osatzen dute: 1, 2, 3, 4… (testuinguruaren arabera 0 ere zenbaki arruntetan sartzen da). Zenbaki aproposak dira herriko biztanleak edo baserritarraren abereak zenbatzeko.

1. irudia: zenbaki arrunten multzoa (beste hizkuntza batzuetan zenbaki natural deritze, hortik dator N sinboloa).

Multzo honengan definitzen den eragiketa oinarrizkoena batuketa da, eta horrek itxiera deritzon propietate garrantzitsu bat betetzen du: a eta b zenbaki arruntak badira, a+b ere zenbaki arrunta izango da. Horrek asko errazten du zenbaki mota horien erabilera, herrian biztanle gehiago jaiotzen badira edo baserritar batek beste bati abereak oparitzen badizkio zenbaki arruntak erabiltzen jarrai dezakegulako. Hortaz, garai batean zenbaki mota horrek nahikoa zirudien ulertzen genituen gauzak deskribatzeko.

Zenbaki osoak

Zenbaki arruntak eta haien gehiketa oso erabilgarriak badira ere, beste eragiketa batzuetan sakontzean motz geratzen dira. Izan ere, zein kalkulu egin beharko dugu gure herrian jendea hiltzen denean? Edo abereren bat mendian desagertu denean? Kenketak egiteaz ari gara, jakina, eta eragiketa berri honek arazo bat dakar zenbaki arrunten multzora. a eta b zenbaki arrunten kenketa a-b izango da, eta bi zenbaki horien balioaren arabera, emaitza ez da beti zenbaki arrunta izango, batzuetan zeroren azpitik geratuko da eta.

“Baina itxoin pixka bat” pentsatuko du baten batek, “zer zentzu du, jarritako adibideetan, a-b zero azpitik geratzeak? Ezin da herrian bizi dena baino jende gehiago hil, ezta baserritarrak dituenak baino abere gehiago galdu ere. Zertarako nahi ditugu orduan zenbaki berriak?” Galdera horiek zentzuzkoak dira, eta kultura eta garai askotan nahikoa izan ziren bestelako zenbaki motaren baten beharra baztertzeko. Dena den, egun ondo dakigun bezala, zeroren azpitik zenbakiak izatea oso erabilgarria da. Zenbaki negatiboek norabidea aldatzea baimentzen dute; oso aproposak dira erreferentzia puntu bat ezarri eta galera edo jaitsiera bat gertatzen den egoerak adierazteko. Horren adibide dira diru kontuak (eman behar dudan eta eman behar didatena bereiztea), altuera geografikoa (normalean itsasoaren mailarekiko) edo eraikin baten solairuak (lurretik gora edo behera doazenak). Izan ere, hori da artikulu honetan azpimarratu nahi den ideia nagusietako bat: batzuetan, errealitatetik aldentzen ari garela badirudi ere, abstrakzio puntu hori gogoan izatea funtsezkoa da, horri esker eraiki ahalko baititugu benetan erabilgarriak diren ideia eta sistema berriak.

Zeroren azpitik geratzen diren zenbaki horiek, zenbaki arruntekin batera, zenbaki osoak deritzon taldea osatzen dute. Orain bai, baditugu zenbaketak, batuketak eta kenketak egiteko elementu guztiak. a eta b zenbaki osoak badira, a±b ere zenbaki osoa izango da; zenbaki mota horrek itxiera propietatea betetzen du batuketa eta kenketa eragiketekin. Ondorioz, nahikoa izango dira diru kontuak egin edo altuera ezberdinak neurtzeko; ez dugu beste zenbaki motarik beharko.

2. irudia: zenbaki osoen multzoa (alemanierako zahlen hitzetik dator Z sinboloa).

Aipatu dugun bezala, zenbaki osoak benetan egokiak dira aplikazio askotarako. Antzinako biztanleek egiten zuten moduan, zilegi da zenbaki horiek “benetakoak” diren ala ez eztabaidatzea, baina ezin da zalantzan jarri testuinguru batean baino gehiagotan baliagarriak direla, eta horiek gabe hainbat gauza deskribatzea zailagoa izango genukeela.

Zenbaki arrazionalak

Orain arte aipatu ez badugu ere, bada zenbaki arrunt eta osoekin erabat lotutako beste eragiketa bat: biderketa. Herriko biztanle bakoitzak bi litro ur behar baditu, zenbat ur eraman beharko dugu herrira? Edo abere bakoitzak hiru kilo lasto jango baditu egunean neguan zehar, zenbat kilo gorde beharko ditugu? Jakina, biderketa ere eragiketa baliagarria izan da beti gizakiarentzat, baina arazo berri bat dakar zenbaki osoekin osatu dugun sistemarentzat.

Zenbaki arrunt eta batuketarekin gertatzen zen moduan, a eta b zenbaki osoak izanda a·b ere zenbaki osoa izango da; arazoa, baina, galdera kontrako norabidean egitean agertzen da. Guztira ehun litro ur baditugu, zenbat edan dezake herritar bakoitzak? Ehun kilo lasto badaude, zenbat jan dezake egunean abere bakoitzak? Zatiketaz ari gara, noski. Kontua da a eta b zenbaki osoak izanda, a÷b eragiketaren emaitzak ez duela zertan osoa izan. Tarta bat bost lagunen artean banatu nahi dugunean motz geratuko zaizkigu zenbaki osoak ere!

Arazo berri horren konponbidea zenbaki arrazionalak dira. Horiek a / b moduan idatz daitezken zenbakiak dira, non a eta b zenbaki osoak diren (b ezin da zero izan, hori bai).

3. irudia: zenbaki arrazionalen multzoa (alemanierazko “quotient” hitzetik dator Q sinboloa). Idazkera matematiko horrek esan nahi duena zera da: zenbaki arrazionalak a / b moduan idatz daitezken zenbaki guztiak dira, non a eta b zenbaki osoak diren eta b ez den zero.

Multzo honetan sartzen dira denontzat ezagunak diren ½ = 0.5, ⅓ = 0.333..., ¼ = 0.25, ¾ = 0.75 eta abar. Zenbaki horien ezaugarrietako bat zera da: idazkera hamartarrean adieraztean hamartar kopuru finitua dute, edo errepikatu egiten dira (⅓ = 0.33333… zenbakiarekin gertatzen den moduan).

Talde hau ere itxia da batuketa, kenketa, biderketa eta zatiketa eragiketen baitan: a eta b zenbaki arrazionalak badira, halaxe izango dira a+b, a-b, a·b eta a÷b. Lortu ditugu, hortaz, behar genituen zenbaki mota guztiak… ala ez?

Zenbaki irrazionalak

Zenbaki arrazionalek, itxuraz, arazo guztiak konpondu zituzten. Zenbaki oso oro beste zenbaki oso batekin (zero izan ezik) zatitu dezakegu, eta horrekin ia edozein kalkuluren emaitza idatzi ahalko dugu. Antzinako matematikari batzuen ustez zenbaki arrazionalak nahikoa ziren mundua goitik behera deskribatzeko, eta beraz ez zegoen inolako beharrik beste zenbaki mota batzuk lantzeko. Berandu baino lehen ohartu ziren, ordea, hori ez zela egia: forma geometriko sinpleenetan ere motz geratzen dira zenbaki arrazionalak.

Hori ulertzeko Pitagorasen teorema ezaguna hartuko dugu. Azpiko irudiko triangelu zuzena edukita, non angeluetako batek 90º dituen, Pitagorasen teoremak c² = a²+b² erlazioa betetzen dela esaten digu, edo beste modu batean esanda, c = √(a²+b²).

4. irudia: Pitagorasen teoremaren arabera, triangelu zuzen (90ºko angelua duen triangulua) baten kateto (a,b) eta hipotenusaren (c) arteko erlazioa c² = a²+b² da.

Burura datorkigun kasurik oinarrizkoenean, non a = b = 1, hipotenusaren balioa c = √2 dela lortuko dugu. “Bueno, bale” esango du irakurleak, “eta zein da ba arazoa?”. Bada, √2 = 1.4142… ez da zenbaki arrazionala! Ez dago bi zenbaki osoren zatidura gisa idazteko modurik, eta hamartarrekin idatziko bagenu ez litzateke inoiz amaituko  (hamartarrak beti izango lirateke ezberdinak). Kondairak dio matematikari greziar batek √2 irrazionala dela frogatu zuenean beste matematikari batzuek hil egin zutela, ez baitzeuden hain zenbaki “itsusirik” bazela onartzeko prest.

Gaur egun, zenbaki mota horiei zenbaki irrazional deritzogu, eta ezagutzen diren konstante ezagunenetako batzuk halakoak dira: zirkunferentzia baten perimetroa eta diametroaren arteko zatidura (𝜋), hainbat propietate berezi betetzen dituen Eulerren konstantea (e)... Zenbaki mota berri honekin, orain bai, zenbaki guztiak ditugula dirudi. Nahikoa al dira, beraz, zenbaki arrazional eta irrazionalak?

Zenbaki errealak

Zenbaki arrazional eta irrazionalen baturak zenbaki errealen multzoa osatzen du, matematika eta zientziarako funtsezko zenbaki-sistema.

Talde horren ezaugarri garrantzitsuenetako bat, garrantzitsuena ez bada, haren jarraitutasuna da. Orain arte ikusi ditugun multzoek “zuloak” dituzte haien elementuen artean. Zenbaki natural eta osoetan 1 zenbakiarengandik gertuen dagoen elementua 2 da (edo zero), ez dugu lortuko gehiago hurbiltzerik. Zenbaki arrazional eta irrazionaletan, aldiz, elementu kopuru infinitua dago 1 eta 2 zenbakien artean. Horrek esan nahi du 1engandik nahi bezain gertu dagoen zenbaki arrazional edo irrazional bat aukeratu ahalko dugula, baina hori horrela izanda ere multzo horiek ez dira jarraituak. Arrazionalen taldean √2 zenbakia falta da esaterako (irrazionala baita), eta irrazionalenean ½ (arrazionala). Hortaz, azken bi talde horietan elementu kopurua infinitua bada ere, zulo kopurua ere infinitua da. Zenbaki errealetan, ordea, ez dago halako zulorik, bi multzo horien batura baita, eta zuzen errealeko puntu bakoitza zenbaki bakar batekin lotuta dago. Ondorioz, oso egitura aproposa da dimentsio bakarreko kantitate jarraituak deskribatzeko (distantzia, denbora, tenperatura…), eta mundua modelizatzeko sistema askoren oinarria bihurtu da.

5. irudia: zenbaki errealak deskribatzeko ohiko modua (informala) honakoa da: zenbaki-zuzeneko puntu guztiak barnean biltzen dituen multzoa. Zenbaki-zuzen horri zuzen erreala deritzo.

Zentzu abstraktua duten zenbaki negatiboak ala inoiz amaitzen ez diren irrazionalak irudikatzeko arazoren bat izan badezakegu ere, gaur egun nahiko ohituta gaude zenbaki errealetara. Gizakiok (batzuek gehiago eta beste batzuek gutxiago) zenbaki multzo honen inguruko nolabaiteko intuizioa garatu dugu, eta zuzen erreal horretan dantzan dabiltzan zenbakiak ulertu eta manipulatzeko gaitasuna bereganatu dugu. Mendeetan zehar horiek izan ziren “benetan” existitzen zirela ziruditen zenbakiak, nahikoa edozein zientzia edo matematika lantzeko.

Arazo berriak

Zenbaki errealekin gure zenbaki-sistema osatutzat eman genezakeela zirudien arren, matematikaren historian laster agertu ziren errealekin guztiz konpondu ezin ziren problema batzuk. Horietako askok ekuazio polinomiko itxura zuten, edo itxura hori har zezaketen behintzat.

Ekuazio polinomiko ezberdinak badaude ere, aldagai bakarra dutenak aztertuko ditugu, ekuazio aljebraiko izena jasotzen dutenak. Hainbat koefiziente erreal izaten dituzte, eta batuketa, biderketa eta berreketa eragiketak biltzen dituzte.

6. irudia: ekuazio aljebraiko orokorra. a_n koefiziente guztiak errealak dira, eta x aldagaia berretzen duten zenbaki guztiak positiboak.

“Eta zein da orain arazoa?” pentsatuko du irakurleak. Zenbaki osoak eraiki ditugu kenketei aurre egiteko, arrazionalak ondoren zatiketekin lan egiteko eta irrazionalak azkenik erro horiei balio “amaigabe” bat emateko. “Ez al ditugu jada beharrezko tresna guztiak mota horretako edozein ekuazio ebazteko?” Bada, galdera horri erantzun motz bat emateko… zein da hurrengo ekuazioaren soluzioa?

7. irudia: zenbaki errealen mugak agerian uzten dituen ekuazio aljebraikorik sinpleena.

Oso ekuazio sinplea dirudi, azken finean bi koefiziente besterik ez dituen ekuazio aljebraiko bat. Ebazpena, baina, ez da hain sinplea. Gure aldagaiaren balioa lortzeko x² = -1 askatu beharko dugu, eta hasiera batean horrek ezinezkoa dirudi. Kontua da edozein zenbaki erreal bere buruarekin biderkatzean emaitza positiboa izango dela beti. a positiboa bada argi dago a² ere halakoa izango dela, baina halaxe izango da (-a)² = (-1)(-1) a² = a² kasua ere. Hortaz, mendeetan zehar ekuazio hori “soluzio gabekoa” zela zioten; adierazpen hori betetzen duen baliorik ez dagoela. Artikulu hau irakurtzen ari denak, baina, agian izango du ideiaren bat. Zer egin dezakegu eragiketa edo problema baten soluziorako zenbakirik ez dugunean? Zenbaki berriak asmatu!

Oraintxe aztertu dugun arazoaren funtsa zenbaki negatiboen erro karratuak dira, itxuraz ez baitira existitzen. Gainera, halako edozein kasutan √(-a) = √((-1)a) =√(-1) √a banaketa egin dezakegunez, arazoa √(-1) terminoan dago. Matematikariek emandako soluzio magikoa honakoa da: zenbaki mota berri bat asmatuko dugu, non definizioz i = √(-1), eta horrela 7. irudiko ekuazioaren soluzioak +i eta -i izango dira.

“Baina a zer nolako tranpa! Zer da i hori? Dena asmatuta edozeinek egin lezake matematika…” esango du hau lehenengo aldiz aditzen duenak, eta ulergarria da gainera. Hala ere, zenbaki konplexuak definizio hori baino askoz gehiago dira, eta edertasun eta erabilgarritasun handia ezkutatzen dute. Artikulu honen azken zatian horretan apur bat sakontzen ahaleginduko gara.

Zenbaki konplexuak

Zenbaki konplexuak zenbaki errealen multzoa hedatzen duten zenbaki-sistema dira, i = √(-1) unitate irudikaria barne hartzen duena. Izan ere, lehen ikusi dugu zuzen erreala benetan erabilgarria dela, eta propietate interesgarriak dituela; hori horrela izanik, zergatik ez dugu hedatuko? Zergatik konformatuko gara zuzen bakar batekin? Zergatik ez bi dimentsioko plano bat dimentsio bakarra beharrean? Bada, hori da zenbaki-sistema berri honen oinarrizko ideia. Zenbaki irudikariak, hau da, i eta bere multiploak, planoko ardatz bertikalean ezartzen dira, eta horrela zuzen batean mugatuta egon beharrean zenbaki-sistema plano batera zabaltzen da, eta horrek zenbakien forma, mugimendu eta elkarrekintza berriak baimentzen dizkigu. Hala, plano konplexua eraiki dugu.

8. irudia: plano konplexua.

Zenbaki konplexuak plano horretako elementuak dira, zenbaki errealak zuzen errealeko elementuak ziren bezalaxe. Bi koordenatuko mapa bat bailitzan, bertako zenbakiak z = (a+b·i) forma binomikoan idatz daitezke, non a eta b zenbaki errealak diren. Gainera, planoarekin modu egituratuan lan egiteko, eragiketa arruntak modu koherentean hedatzen dira, alegia, zenbakien oinarrizko lege aljebraikoak (batuketa eta biderketaren propietateak) bere horretan mantenduz. Ondorengo formulak propietate horien adibide dira (zenbaki errealek bete egiten dituzte), eta i zenbaki irudikariak ere bete egiten dituela inposatzen da:

9. irudia: i zenbaki irudikariak zenbaki errealek betetzen dituzten arauak bete behar dituela inposatzen da.

   
   

Jarraian, zenbaki konplexuak eta haien propietateak ulertzeko horiek plano konplexuan irudikatuko ditugu. Hala, z1 = (1+2i) eta z2 = (-2+i) zenbakiak, adibidez, ondorengoak dira:

10. irudia: z1 = (1+2i) eta z2 = (-2+i) zenbaki konplexuak plano konplexuan.

Zenbakiak planoko puntuak izan arren, askotan irudian ageri diren bektoreekin adierazten dira, eta horrek badu bere zentzua. Izan ere, z1+z2 batuketa egin nahiko bagenu, koordenatu bakoitza bere aldetik gehitu beharko genuke, eta hortaz z1+z2 = (1-2)+(2+1)·i = -1+3i zenbaki konplexua lortuko genuke; planoa behatzen badugu, batuketa hori bektoreen batuketaren baliokidea dela ikusiko dugu.

11. irudia: irudia: z1 = (1+2i) eta z2 = (-2+i) zenbaki konplexuen batuketa.

“Bueno, ez dirudi konplikatua” esango du batek baino gehiagok, “baina benetan behar al ditugu zenbaki konplexuak? Egiten ari garena egiteko nahikoa dirudite bi dimentsioko bektoreek”. Zenbaki konplexuen funtzio garrantzitsuena, baina, biderketa operazioan dago. Zenbaki horiek ez dira edozein modutan biderkatzen; izan ere, 9. irudian azaldutako aljebraren ezaugarriak errespetatu behar dira, eta beraz operazio horrek ondorengo forma hartzen du:

12. irudia: bi zenbaki konplexuren biderketa, haien parametro errealen arabera (gogoratu i² = -1 definitu dugula).

Lehengo z1 eta z2 hartuta, z1·z2 = -4-3·i zenbaki konplexua lortuko dugu (13. irudian ikusgai). Beharbada emaitza horrek itxura berezia izango du bat baino gehiagorentzat, baina berehala hartzen du zentzua zenbaki konplexuak adierazteko modua aldatzen badugu.

13. irudia: z1 = (1+2i) eta z2 = (-2+i) zenbaki konplexuen biderketa plano konplexuan.

Kontua da z = a+b·i forma binomikoa oso erabilgarria dela zenbaki konplexuak idazteko, baina ez da modu bakarra. Izan ere, orain arte marraztu ditugun bektoreak ikusita badakigu horiek adierazteko bi zenbaki erreal behar ditugula, azken finean bi dimentsiotan baikaude. Zenbaki konplexuak forma polarra deritzon moduan idatz daitezke, non a eta b koordenatuak beharrean bektorearen modulua ((0,0) puntuarekiko distantzia) eta zenbaki erreal positiboen ardatzarekiko angelua definitzen diren. Hala, lehengo z1 eta z2 zenbakiek ondorengo forma izango dute (Pitagorasen formula erabili dugu modulua kalkulatzeko, eta trigonometria apur bat angeluen balioa ondorioztatzeko):

14. irudia: z1 = (1+2i) eta z2 = (-2+i) zenbaki konplexuak forma polarrean.

Behin zenbaki konplexuak forma polarrean idatzita, haien arteko biderketa egitea berehalakoa da: z1 eta z2 biderkatzeko haien moduluak biderkatu eta angeluak gehitu behar dira. Prozedura hori ez da hutsetik sortzen; 9. irudiko aljebraren arauak errespetatzearen ondorio dira. Eraiki dugun sisteman hori da biderkatzeko modu koherente bakarra! Hortaz, gure adibidearekin jarraituta:

15. irudia: z1 = (1+2i) eta z2 = (-2+i) zenbaki konplexuen biderketa, forma polarrean.

Beraz, zenbaki konplexuaren moduluak emaitzaren modulua handitu edo txikituko du, eta angeluak, aldiz, emaitza biraraziko du. Hori da zenbaki konplexuen propietate esanguratsuena: zenbaki-sistema horrek biraketa deskribatzeko mekanismo zuzena du, eta haien egiturak edozein errotazio gauzatzea ahalbidetzen du.

16. irudia: z1 = (1+2i) eta z2 = (-2+i) zenbaki konplexuen biderketa plano konplexuan.

Behin zenbaki konplexuen eragiketak ezagututa, i zenbakiaren kontzeptuak zentzua hartzen du. Izan ere, forma polarrean i = 1<90º idatz dezakegu, unitate irudikariak 1 balioko modulua (luzeera) duelako eta planoko ardatz bertikalean dagoelako (zuzen errealetik 90º gradura). Beraz, ikusten dugu zenbaki bat i-rekin biderkatzeak modulua berdin uzten diola, baina 90º birarazten duela. 5 zenbakia i-rekin biderkatzen badugu, adibidez, 90º biratu eta zenbaki irudikarien ardatzera eramango dugu, 5i baliora. Hortaz, zer gertatuko litzake i·i biderketa egingo bagenu? Ba 180ºko biraketa gauzatuko genukeela (gogoratu biderketan angeluak batu behar direla) edo, beste modu batean esanda, ·(-1) operazioa egingo genukeela. Hau da, i² = -1.

Ondoriorik atera aurretik, azken gauza bat azpimarratzea garrantzitsua da. Baten batek pentsa lezake zenbaki berriak sortzen jarraitu beharko dugula arazo berriei aurre egiteko. Adibidez, zer gertatzen da √i erroarekin? j izeneko zenbaki berri bat beharko dugu? Ba ez. Orain arte azaldutako biderketa propietateekin ikus daiteke i zenbakia 1<45º zenbaki konplexua berretzen lor daitekeela (gogoratu moduluak biderkatu eta angeluak gehitu behar direla). Are gehiago, egun dakigunez, zenbaki konplexuek aljebra ixten dute. Aljebraren oinarrizko teoremak dioenez, edozein ekuazio polinomikok (6. irudia) bere emaitza guztiak plano konplexuan izango ditu; ez dugu zenbaki “super-konplexu”-rik asmatu beharko. Zenbaki arruntekin hasitako ibilbide hura hemen amaitzen da, zenbaki konplexuetan, aljebrak bere osotasuna aurkitzen duen eremuan.

17. irudia: 1<45º zenbaki konplexua berretuta i unitate irudikaria lortzen da (baina kontuz, 1<225º zenbaki konplexua berretuta ere bai!).

Ondorioak

Artikulu honetan zenbaki berriak zergatik sortzen diren ikusi dugu. Kenketekin aritzeko zenbaki arruntak ez direla nahikoak, zatiketekin aritzeko osoak ere ez, eta zenbaki positiboen erroketak agertzen direnean arrazionalak ere motz geratzen zaizkigula. Hori gutxi ez, eta behin zenbaki errealak izanda denak konponduta zirudien arren, zenbaki negatiboen erroketak beste zenbaki mota bat asmatzera eraman gaitu.

Hala ere, asmakizun huts bat baino gehiago, zenbaki konplexuak gure dimentsio bakarreko zenbaki sistemaren bi dimentsiorako hedapen naturala dira. Bi dimentsioko plano arrunt batean dimentsioek ez dute zertan lotura jakinik izan. Plano konplexuan, baina, aljebraren arauak betearazten dira, eta arau horiek bi dimentsioen arteko hartueman espezifiko eta erabilgarria inposatzen dute.

Zenbaki konplexuak ez dira kuriositate edo bitxikeria hutsa. Mundua aztertzeko erabiltzen diren modelo askoren erdigunean daude: fisika kuantikoa, elektromagnetismoa, optika fisikoa, seinale eta sistemen analisia… Oszilazioak aztertzen dituen edozein eredutan berebiziko garrantzia dute, lehenago aipatu bezala biraketarekin lotura sendoa dute eta. 

Askorentzat zenbaki konplexuak “asmakizun hutsa” dira. Zer zentzu du i izeneko zenbaki bat asmatu eta horrekin matematika egiteak? Zenbaki irudikari izena, René Descartes filosofo eta matematikariak mespretxuz ezarria, ez da lagungarria. Ondo ezagutzen ez dituenak berehala pentsatzen du matematikarien imaginazioa besterik ez direla. Artikulu hau osorik irakurri duenari, baina, galdetuko nioke: ez al ditugu antzeko galderak egin zenbaki negatiboekin? Ziur gaude zenbaki irudikariak baino “benetakoagoak” direla? Benetakoak edo ez, zenbaki konplexuek matematika aberatsago bat eskaintzen digute, eta mundua ulertu eta deskribatzeko tresna boteretsu bat.