Musikariak eta matematika: nola sortu eskala bat

Jarri egoera honetan: musika zerotik asmatu behar dugu. Ez “musika bat” zerotik egungo nota eta erritmoekin, baizik eta musika bera zerotik asmatu. Nondik hasiko ginateke? Zer nota erabiliko genituzke gure musika egiteko? Gaur egun mundu osoan egiten den ia musika guztiak 12 nota erabiltzen ditu, baina zergatik? Modu aleatorioan egindako hautu kultural bat da? Eta txikitatik beste nota batzuekin egindako musika entzuten ohitu izan bagina, beste hori egingo zitzaigukeen naturala? Ez da aleatorioa, ez, edo ez guztiz behintzat.

Matematika, fisika, neurologia eta kultura nahasten dira hemen arakatuko dugun eremuan. Ez naiz gai honetan aditua, eta artikulu hau idaztea aitzakia izan da nire burua honetaz irakurri eta pixka bat sakontzera behartzeko, asko interesatzen baitzait. Nahi baino gutxiago sakondu ahal izan dut, baina ahalik eta ongien saiatuko naiz bildu dudana era ulergarrian azaltzen. Has gaitezen!

Zer da eskala bat?

Soinua airean hedatzen diren presio-uhinek gure belarrietara iritsi eta barruan ditugun nerbioen bitartez burmuinera iristean sortzen den esperientziari deitzen diogu. Artikulu honetan aireko presio-uhin horiei buruz arituko naiz, ez nerbio-sisteman sortzen den entzute fenomenoari buruz. Neurologiaren eta kulturaren ikuspegi edo angeluak beste baterako utziko ditugu, beraz (pena!).

1. irudia. Nota baten lehen bost harmonikoen irudikapena. Irudian, nota soka batean joko bagenu harmoniko puru bakoitzak sokan izango lukeen itxura erakusten du. Sokaren bi ertzak finko daude, eta puntu morez irudikatuta daude harmoniko bakoitzaren nodoak (beti geldirik dauden puntuak).

Behin baino gehiagotan entzuna izango du irakurleak beharbada soinu batek hiru ezaugarri dituela: bolumena, tonua eta tinbrea. Hasteko, utz dezagun tinbrea alde batera. Uhin lauak tinbrerik gabeko soinuak dira nolabait, eta ekuazio honek deskribatzen ditu:

non P airearen presioa den, P0 anplitudea, f maiztasuna eta t denbora; “sin” sinu funtzio trigonometrikoa da. Honako hau da ekuazio honek esaten diguna gutxi gorabehera: airean uhin lau bat dagoenean, aireko puntu jakin bateko presioa periodikoki txikitu eta handitu egiten dela denboran zehar. Txikitu eta handitzen denean gertatzen den presio-aldaketa P0 da, eta aldaketa hori f aldiz gertatzen da segundoero. Uhina ezaugarritzen duten parametroak anplitudea eta maiztasuna dira, eta zuzenean daude lotuta bolumenarekin eta tonuarekin hurrenez hurren. Uhin batek zenbat eta anplitude handiagoa, orduan eta bolumen altuagoa izango du; eta zenbat eta maiztasun handiagoa, tonuarekin berdin. Bolumen kontuak alde batera utziko ditugu artikulu honetan, eskalak sortzeko berdin baitzaigu notak fuerte edo suabe entzuten diren.

Musika-instrumentuek sortzen dituzten notak uhin lau horien konbinazioak izaten dira, hau da, nota bat entzuten dugunean ez dugu maiztasun bakarra entzuten, hainbat maiztasun entzuten ditugu aldi berean. Zein dira maiztasun horiek?

n=1,2,3,... izan daiteke. n-ri dagokion bibrazio-moduari n. harmoniko deitzen zaio, eta harmoniko bakoitzak n · f maiztasunarekin bibratzen du. f0 notaren oinarrizko maiztasuna da. 1. irudian ikusten dira nota baten lehen harmonikoak. Orduan, musika-nota bat ekuazio honek emango luke.

P0_n harmoniko bakoitzaren anplitudea da. Soinu baten tinbrea P0_n balio horien banaketak zehazten du, baina ez dugu horretan gehiago sakonduko (barkatu, Fourier).

Hori ikusita, ohartu gaitezke 2f oinarrizko maiztasuna duen nota baten harmoniko guztiak f oinarrizko maiztasuna duen notaren harmonikoen azpimultzoa izango direla. Hori dela eta, ia-ia gauza bera balira bezala hautematen ditu giza-burmuinak f eta 2f oinarrizko maiztasuna duten notak eta musikaren teorian izen bera ematen zaie bi nota horiei, zortzidun (gazteleraz octava) ezberdinetan. “La” notari buruz ari baldin bagara, adibidez, 110 Hz-ko oinarrizko maiztasuna duen la-ri beheko la deitu diezaiokegu, eta 220 Hz-koa duenari goiko la. Beraz 2^k · f oinarrizko maiztasuna duten nota guztiak nota bera dira, eta hau horrela da kultura guztietan. (Beharbada irakurlea konturatuko zen 3f, 5f, ... oinarrizko maiztasuna duen notaren harmoniko guztiak ere f-ren harmonikoen azpimultzoa direla. Horiek nota bera izango balira bezala ez hartzeko arrazoia neurologikoa dela dirudi, gehiago jakin nahi duenak segi beza StackExchangeko hari honetatik tiraka: https://music.stackexchange.com/questions/44783/why-do-octaves-sound-equivalent).

Beraz f eta 2f artean f-ren ezberdinak diren notak bilatzen has gaitezke, 2f-ren ondoren dena berriro errepikatzen hasiko baita 4f-ra iritsi arte, eta gero berriro errepikatuko da 8f-ra iritsi arte, eta abar. Ziklikoa da. 110 Hz eta 220 Hz maiztasunetako la noten artean 150 Hz eta 200 Hz notak sortzen baditugu, nota berdinak errepikatuko dira 220 Hz pasa eta gero: 300 Hz eta 400 Hz-tan. Eskala hau izango litzateke: 110 Hz (la), 150 Hz (1. nota berria), 200 Hz (2. nota berria); eta gero 220 Hz (la zortzidun bat gorago) 300 Hz (1. nota berria zortzidun bat gorago), 400 Hz (2. nota berria zortzidun bat gorago); gero 440 Hz (la bi zortzidun gorago), 600 Hz (1. nota berria bi zortzidun gorago), 800 Hz (2. nota berria bi zortzidun gorago)… 

Horregatik, zirkunferentzia bat erabiliko dugu gure eskalako notak aurkitu eta irudikatzeko. Zirkunferentziaren goiko puntua f maiztasunari esleituko diogu, eta buelta osoa emateak 2f maiztasunera iristea esan nahiko du (nota berdinera, zirkunferentziako puntu berera). Txit ongi, baina nola aukeratuko ditugu gure eskalako notak? Edozein aukeratuta balio du?

Ongi osatutako eskalak

Osa dezagun eskala bat zirkunferentzian ausazko puntu batzuk aukeratuz. Zenbat? Ez dakit ba, hori ere ausaz: 6, adibidez, zenbaki perfektua delako ;). Itxura hau izan dezake horrela aukeratutako eskala batek:

2. Irudia. Ausaz hautatutako 6 notarekin sortutako eskala baten irudikapena.

Ez du bereziki itxura onik. Ez dago inolako hierarkia, simetria edo ordena minimo batekin lotura izan dezakeen ezer, itxuraz. Entzunez gero ere, ez da batere atsegina egiten belarrira. Saia gaitezen arauren bat jarri eta hari segituz eskala bat sortzen.

Nota batetik abiatuta, hurrengo nota erlazio sinple batekin sor dezakegu, maiztasunen arteko ratio sinple batekin (f1 = r · f0), alegia. Irudikapen honetan, maiztasun bat r ratioarekin biderkatzea angelu bat biraraztearen baliokidea beti, eta hau da ratioaren eta angeluaren arteko erlazioa:

Ratiorik sinpleena 1ekoa da baina horrek maiztasun berean uzten gaitu, ez du ezer ere egiten. Lehen ikusi dugu maiztasuna bikoizteak ere goragoko zortzidunera eraman besterik ez duela egiten, nota berririk sortu gabe, beraz 2 ratioak ere ez digu balio. 3 ratioak bai, nota berri bat sortzen du; 3. irudian ikusten da zein den sortzen duen nota.

3. Irudia. r=3 ratioarekin sortutako f1 notaren oinarrizko maiztasunaren irudikapena f0-ren oinarrizko maiztasunarekiko.

Orain, bigarren nota honetatik abiatuta nota gehiago sor ditzakegu r=3 ratioa berriro erabilita. Ohartu r=3 ratioak abiapuntutzat hartzen dugun puntutik 2 · π · log2 3 angelura sortzen duela beti hurrengo nota. Hala ere noiz egongo da bukatuta gure eskala? Izatez, modu honetan sor dezakegun nota kopurua infinitua da.

N deituko diogu sortzen dugun eskalaren nota kopuruari. Eskalak nolabaiteko simetria izan dezan saia gaitezke: fn eta f{n+1} noten artean zirkunferentzian zehar joanda nota kopuru berdina egon behar izateko baldintza jarriko dugu n guztietarako. Bisualki, ezaugarri hori zirkunferentziaren barruan inskribatutako N puntako izar bat sortzearen baliokidea da fn eta f{n+1} guztiak elkarrekin lotzen ditugunean. Izarrak ez du zertan simetrikoa izan (izarraren puntek ez dute zirkunferentzian zehar modu uniformean banatuta egon beharrik), baina izarra osatu behar dute. Horrelako eskalei ongi osatutako eskala deitzen zaie.

4. irudian ikusten dira r=3 ratioarekin sortutako hainbat eskala, nota bakarretik hasi eta 20 nota dituen eskalaraino. Eskala horietako asko (gehienak) ez dira ongi osatutako eskalak, ez baita izarrik sortzen puntu bakoitzetik hurrengora doazen zuzenkiekin, baina batzuk bai. 2 notako eskala ongi osatuta dago izatez, nota batetik hurrengora joateko kopurua beti 0 delako, baina bi nota baino aberastasun handiagoa nahi dugu. 3 notakoak ere berdin, baldintza betetzen du, baina nota gehiago nahiko genituzke. 4 notarekin ez da izar bat sortzen, beraz, ez dago ongi osatuta. 5 notarekin bai! 5 puntako izarra. 6 punturekin ez da izarrik osatzen, baina 7rekin bai. 8, 9, 10 eta 11 notarekin berriz ere ez, eta 12koa bai, ongi osatutakoa da. Hortik aurrera ere badaude ongi osatutako eskala gehiago, baina hemen geratuko gara. Egon nahi baduzu pixka batean gif-ari begira puntuak nola gehitzen diren eta segmentuek ze forma sortzen duten begira, hipnotiko xamarra da.

4. Irudia. r=3 ratioarekin sortutako eskalak, N=1etik N=20ra. Noten maiztasunen indizeak 0tik N-1era doaz.

Beraz, nota kopuru aldetik aberastasun nahikoa duten eta ongi osatuta dauden 3 eskala aurkitu ditugu r=3 ratioarekin notak sortzen joanda: 5, 7 eta 12 notako eskalak. Goazen orain gure zirkuluen eta maiztasun-ratioen mundutik momentu batez atera, eta bizi garen munduan egin den musikari begiratzera. Hasieran esan dugunez, munduko ia musika guztia 12 notarekin egiten da, kasualitatea al da guk ere 12 notako ongi osatutako eskala bat lortu izana? Ez, noski. Eskala kromatikoa deitzen zaio 12 notako eskala horri musikaren teorian.

5 notako eskalari eskala pentatonikoa deitzen zaio eta oso erabilia izan da antzinako hainbat zibilizaziotan (Txinako zibilizazioaren kasua da ezagunena beharbada), baina baita musika modernoan ere, hala nola bluesean eta rock and rollean. 7 notako eskala da do-re-mi-fa-sol-la-si famatua. Horratx, beraz, nahiko sinplea den metodo batekin, arau eta hautu logiko batzuk ezarrita, munduko ia musika guztiak egiteko balio duten eskalak lortu ditugu.

Azken pauso txiki bat falta zaigu, hala ere.

Tenperamentu berdineko eskalak

Arazo bat dute orain arte sortu ditugun eskalek: ez dute zirkulua N zati berdinetan banatzen. Hori dela eta, melodia bat nota batetik edo eskalan bere ondoan gelditzen den notatik abiatzea ez da baliokidea. Abesti baten melodia bi nota ezberdinetatik abiatuta joz gero melodia hori ezberdina irudituko zaigu aldi bakoitzean, melodiako noten arteko erlazioak ez direlako berdinak. Eskalako nota bakoitzetik ondokora beti ratio bera mantentzen duten eskalei tenperamendu berdineko eskala deitzen zaie, eta komenigarria da musikarientzat eskala bat tenperamendu berdinekoa izatea abesti bera tonu ezberdinetatik abiatuta jo ahal izateko.

Zer egin? Eskala kromatikoak ia 12 zati berdinetan banatzen du zirkunferentzia, baina ez guztiz. Ba, duela mende batzuk, hauxe esan zuten musikariek: “buf, melodia berak tonu ezberdinetan soinu bera egin dezan instrumentuak behin eta berriz afinatzen ibili behar izateaz aspertu naiz, zergatik ez ditugu notak pixka bat mugitzen eskalako ondoz ondoko noten arteko ratioa beti berdina izan dadin?”, eta horixe egin zuten. Listo ba. Horrela, orain eskala kromatikoko nota batetik hurrengora dagoen ratioa r=2^(1/12) da beti. Hau oso gertu dago r=3 ratioarekin sortutako 12 notako eskalatik, baina askoz ere erosoagoa da musikarientzat.

Beno, ba. Bukatzen ere jakin behar du, eta hementxe utziko dugu kontua. Erantzun gabeko hari-mutur solte dezente utzi izanaren irudipena dut (batzuk neronek ere erantzuten jakingo ez nituzkeenak), baina horrela beharko du. Txapa, formula eta irudien festa hau bukatzeko to bertso bat!

Musikaria ere ez dabil

Arauetatik aparte

Legea itsu segi beharrak

Errexkeria lekarke

Arau arteko arrakaletan

Ere bada zenbait arte

Milesker hona heltzeagatik

Eta hurrengora arte.

Sakondu nahi izanez gero:

https://mtosmt.org/issues/mto.11.17.1/mto.11.17.1.clampitt_and_noll.html

https://www.researchgate.net/publication/215646485_Aspects_of_Well-Formed_Scales

https://www.youtube.com/watch?v=P7iC-fbdKmQ

https://gaceta.rsme.es/abrir.php?id=1130

Eskalak zirkunferentzietan irudikatzen eta audio fitxategietan gordetzen jolasteko Python kodea:

https://github.com/xksrs/eskalen-irudikapena